Priroda i svemir možda izgledaju haotično i nepredvidljivo, ali također su i visoko organizovano fizičko područje ograničeno zakonima matematike. Jedan od najtemeljnijih i nevjerovatno lijepih načina na koji se ovi zakoni manifestuju je kroz Zlatni rez i Fibonaccijeve brojeve.

Jedan od najpoznatijih nizova brojeva u istoriji je Fibonaccijev niz, objavio ga je talijanski  matematičar Leonardo Fibonacci iz Pise (Leonardovo porodično prezime je zapravo bilo Bonacci, a oblik Fibonacci dolazi od latinskoga filius Bonaccii, što znači Bonaccijev sin) još davne 1202. godine u svojoj knjizi “Liber Abaci“. I danas, više od 800 godina poslije, ovaj niz brojeva ne prestaje da intrigira naučnike.

Fibonaccijev niz više je od puke matematičke zanimljivosti – on je dio skladnih uzoraka utkanih u tkivo prirode. Čuveni niz brojeva postao je poznat kao “tajni kod prirode”.

Fibonaccijev niz izgleda ovako: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, itd. Na prvi pogled izgleda kao slijed nasumičnih brojeva? Zapravo je vrlo jednostavan i logičan: Fibonaccijev niz počinje s 0 i 1, a svaki sljedeći broj u nizu je zbir prethodna dva broja. Brojevi koji sačinjavaju ovaj niz nazivaju se Fibonaccijevi brojevi.

 

Zlatni rez (zlatna proporcija) i Fibonaccijeva spirala

Možda ste već čuli za zlatni rez, poseban broj koji je približno jednak 1,6180339 i često se označava grčkim slovom Phi (φ). Ovaj broj se smatra estetski ugodnim, ali vratimo se još kratko na matematički aspekt zlatnog reza.

Dakle, kakve veze zlatni rez ima s Fibonaccijevim nizom? Ispada da se zlatni rez može izračunati dijeljenjem bilo kojeg broja u Fibonaccijevom nizu s brojem prije njega (osim prva dva broja 0 i 1). Kako idete niz Fibonaccijev niz, omjer svakog broja u odnosu na onaj prije njega postaje sve bliži zlatnom rezu. Zbog toga se Fibonaccijev niz često povezuje sa zlatnim rezom. Čak i varijacije Fibonaccijevog niza sadrže u sebi zlatni rez. Varijaciju možemo napraviti i sami tako što niz počnemo sa dva nasumična broja i nastavimo ga po istom pravilu. Naprimjer lupiću broj 35 i 72, pa nastaviti niz: 35, 72, 107, 179, 286, 465, 751… i sada ću podijeliti 751 sa 465 i voilà– dobila sam 1,6150537634 – približno zlatni rez! Pokušajte i sami, sa nekim svojim nizom…

Činjenica da broj Phi ima beskonačan broj cifara iza zareza i da ne postoji razlomak (odnosno dva broja koja možete podijeliti jedan s drugim) da dobijete tačan iznos broja Phi, čini ga najiracionalnijim postojećim brojem. Kako idemo dalje po Fibonaccijevom nizu količnik dva susjedna člana biće sve pribiližniji vrijednosti broja Phi, ali ma koliko daleko išli nikada nećemo dostići stvarnu vrijednost ovog broja. Ipak postoji formula koja daje ovu vrijednost:

Da se vratimo na estetiku: Kako sad ta naoko neuredna gomila brojeva može biti „estetski ugodna“ i iskoristiti se u bilo kakvom „dizajnu“? Eh pa tu na scenu stupa Fibonaccijeva spirala ili Zlatna spirala, kako je još nazivaju. To je logaritamska spirala koja raste prema van za faktor zlatnog reza za svaku četvrtinu okreta koju napravi. Zvuči komplikovano? Pojednostavićemo: Ova spirala se može nacrtati iscrtavanjem lukova koji spajaju suprotne uglove kvadrata u Fibonaccijevoj mreži.

Šta je sad Fibonaccijeva mreža? Jednostavno, kao osnovu uzimamo kvadrate čije su dužine stranica jednake redom brojevima u Fibonaccijevom nizu, zatim te kvadrate naslanjamo jedan na drugi redom po veličini u krug i to tako što prvo spojimo dva kvadrata sa dužinom stranica 1×1, zatim na njih naslanjamo slijedeći u nizu – kvadrat dimenzija 2×2, zatim kvadrat 3×3 naslanjamo s one strane gdje su spojeni jedan 1×1 kvadrat i onaj 2×2 (da bi se stranica dužine 3 savršeno poklopila)… i tako redom prateći Fibonaccijev niz. Na taj način dobićemo Fibonaccijevu mrežu onoliko veliku koliko smo brojeva iz niza tj. pripadajućih kvadrata ucrtali. Ako pogledamo sliku, sva ova komplikacija će izgledati smiješno jednostavna, dakle:

Fibonaccijeva mreža
Fibonaccijeva spirala

 

Teži dio posla je gotov. Sada kada smo shvatili šta Fibonnacijev niz, Zlatni rez, Fibonaccijeva mreža i spirala možemo preći na neke, neću reći ljepše (jer ljepota je u oku posmatrača), ali sigurno vizuelno privlačnije stvari. Otkriti zašto “ovu matematiku” vole ne samo matematičari nego i umjetnici, dizajneri, arhitekte ali se može pronaći i u prirodi.

 

Matematička simfonija prirode

Davno prije nego su ljudi znali za Fibonaccijeve brojeve, iscrtali zlatnu spiralu ili otkrili Zlatni rez, priroda ih je koristila, i još uvijek ih koristi u svom dizajnu živog svijeta.

Nije teško pronaći primjere ovog logaritamskog fenomena u prirodi — bilo da se radi o jednostavnoj sobnoj biljci ili porodičnom stablu jednog pčelinjeg mužjaka, sve one potječu iz istog matematičkog koncepta.

Listovi na stabljici i grananje drveća

Ako pogledate biljku s naizmjeničnim ili nasuprotnim rasporedom lišća, primijetit ćete da broj listova u svakoj spirali na stabljici slijedi Fibonaccijev niz. Ovaj raspored nije samo vizuelno ugodan, već ima i funkcionalnu svrhu: omogućava da svaki list dobije optimalnu količinu sunčeve svjetlosti, što je za biljke od vitalnog značaja jer je sunčeva svjetlost neophodna za fotosintezu, ona je opet proces koji zelenoj biljci osigurava hranu. Savršen primjer je Aloe polyphylla, poznatija kao spiralna aloja.

Jednako tako Zlatnu spiralu prati i drveće u svom rastu i grananju tako što grane rastu iz debla drveta u spiralnom uzorku, pri čemu svaka sljedeća grana formira veći ugao od one prije nje. Ako prebrojite broj grana u svakoj spirali, vidjet ćete da one slijede Fibonaccijev niz.

Spirale sjemenki:

Šišarke su još jedan primjer privrženosti prirode Fibonaccijevom nizu. Ako pažljivo proučite šišarku, primijetit ćete jasan spiralni uzorak koji čine ljuske na njoj. Spirala koju formiraju je Fibonaccijeva spirala, a brojanje spirala u oba smjera (u smjeru kazaljke na satu i suprotno) otkriće vam dva uzastopna Fibonaccijeva broja.

Na primjer, možete pronaći 8 spirala u jednom smjeru i 13 u drugom smjeru. Zašto biljka baš ovako reda ljuske? Pa to je najučinkovitiji način da na što manju površinu “zgura” što veći broj sjemenki, odnosno jedino redanje sjemenki po Fibonaccijevoj spirali neće ostaviti ni milimetar pukotina između segmenata, što će reći nema neiskorištenog prostora. Ovo pridržavanje Fibonaccijevog niza omogućuje šišarki da učinkovito spakuje sjemenke i maksimizira svoj reproduktivni potencijal.

Još jedan primjer ovakvog pakovanja sjemenki je i cvijet suncokreta (Helianthus annuus), kao i plod ananasa (Ananas comosus).

Zanimljivu interaktivnu grafiku redanja sjemenki suncokreta u spiralu možete pronaći na ovoj web lokaciji: https://www.mathsisfun.com/numbers/nature-golden-ratio-fibonacci.html

Porodično stablo jednog truta

Kolonija pčela sastoji se od matice, nekoliko trutova i puno radilica. Ženke pčela (matica i radilica) imaju dva roditelja: truta i maticu. Trutovi se, pak, izlegu iz neoplođenih jaja. To znači da imaju samo jednog roditelja. Prema tome, Fibonaccijevi brojevi izražavaju porodično stablo truta tako da on ima jednog roditelja, dva djeda i bake, tri pradjeda i bake i tako dalje.

I ne samo to, broj mužjaka i ženki, u trutovom porodičnom stablu, po generacijama također prati Fibonaccijev niz.

 

Zlatni omjer modelira prirodni način pakovanja stvari na prostorno i energetski najučinkovitiji način. Ovo je rezultat više miliona godina evolucije živog svijeta. Fibonaccijev niz je samo jedan jednostavan primjer otporne i ustrajne kvalitete prirode.

Kako nastavljamo tražiti matematičke obrasce u našem prirodnom svijetu, naše razumijevanje našeg svemira se širi, a ljepota prirode postaje jasnija našim ljudskim očima.

Primjeri Fibonaccijeve spirale u prirodi nesumnjivo su ugodni oku, a matematička preciznost jednako tako fascinira ljudski um. Ljudski um i jeste takav da u svemu traži simetriju, pravilnost, neki redoslijed, uzrok i logiku stvari.

Prihvaćanje da je nešto zaista slučajno, neuredno, neposloženo i nema pravila budi negativne emocije u nama i možda je baš to razlog zašto nam toliko godi tražiti i pronaći ovakve “tajne kodove prirode”.

Spiralni egzoskeleti morskih stvorenja

Okean je riznica prirodnih čuda, a morska bića nepregledno bogatstvo raznolikosti i ljepote na svoj jedinstven način. Najslikovitiji “primjer Fibonaccijeve spirale” za koji ste zasigurno čuli je Nautilus pompilius, mekušac iz porodice glavonožaca s karakterističnim oklopom spiralnog oblika. Samo jedan pogled na njegovu kućicu daje asocijaciju na zlatnu spiralu.

Da, rast egzoskeleta nautilusa prati logaritamsku spiralu. No međutim, nije svaka logaritamska spirala ujedno i Fibonaccijeva spirala. Ili se ponekad tvrdi da je svaka nova komora zlatnih proporcija u odnosu na prethodnu, međutim mjerenja školjki nautilusa ne podupiru ovu tvrdnju. Zapravo, prije bi se reklo da je spirala nautilusa sličnija tzv “srebrnoj spirali” koja u rastu prati omjer 1:√2.

I neke druge vrste – poput morskih puževa, imaju ovu strukturu ljušture.

 

Umjetnost i zlatni rez

Kao što to uvijek biva sa nama ljudima, mi “ne izmišljamo toplu vodu” nego najčešće za svoje stvaralaštvo koristimo obrasce, pravila, formule i estetiku koje je priroda već “testirala i odobrila za upotrebu”.

Pa se tako smatra da je Zlatni rez predstavljao svojevrsni model po kojem su gradili mnogi arhitekti, i slikali mnogi umjetnici. Mnogi smatraju da su proporcije zlatnog pravougaonika (onaj koji ima odnos stranica 1: φ) posebno ugodne ljudskom oku, te da nam je estetski draži zlatni pravougaonik od svih ostalih pravougaonika. Stoga ih, na neki način, ima smisla koristiti u umjetničkim djelima.

Kopljonoša

Poliklet (grč. Πολύκλειτος – Polýkleitos) smatra se najpoznatijim i najautoritativnijim majstorom starogrčke skulpture klasičnog doba.

Njegovi kipovi dugo su smatrani standardom ljepote i skladne gradnje. Polikletov kip Doryphoros (Kopljonoša) (iz oko V/IV stoljeća pne.) smatra se jednim od najvećih dostignuća klasične grčke umjetnosti.

Ovaj kip je arhetip za proporcije idealnog ljudskog tijela koje su utvrdili starogrčki kipari.

Ime pripisano ovoj skulpturi je posebno važno jer “Kanon” nije bio samo kip koji je prikazivao savršene ljudske proporcije, već je zapravo bio fizički prikaz onoga što je Poliklet opisao u svojoj raspravi o ljepoti, također pod naslovom “Kanon”.

Dok su i njegova pisana rasprava i izvorni kip sada izgubljeni, mramorne kopije kipa su ostale, a tekstualni zapisi opažanja drevnih istraživača i historičara omogućavaju moderno posredno ispitivanje onoga što neki smatraju najizvrsnijim modelom savršenog ljudskog oblika.

Neki takvo “savršenstvo” pripisuju činjenici da je Poliklet u svom stvaralaštvu primijenio načela Zlatnog reza.

 

 

Luca Pacioli, bio je matematičar koji je napisao knjigu pod nazivom De Divina Proportione davne 1509. godine. Knjiga je dobila ime po zlatnom rezu.

Pacioli je bio blizak prijatelj s Leonardom da Vincijem. Da Vinci je od Paciolia učio matematiku, te ilustrirao pomenutu knjigu. Ovo je vjerovatno i razlog zašto se često tvrdi da je i sam Leonardo koristio zlatni rez u svojim slikama, mada za to nema direktnih dokaza (barem ne da je to činio svjesno i namjerno).

Možda je najpoznatiji od ovih primjera Vitruvian Man (Vitruvijev čovjek) gdje se Leonardo nesumnjivo bavio proporcijama i neke od tih proporcija zaista odgovaraju zlatnom rezu. Da Vinci je taj koji je ovu proporciju kasnije nazvao Sectio aurea ili Zlatni rez. Stoga je logično pretpostaviti da je Da Vinci svjesno koristio zlatni rez u svim (ili većini) svojih djela.

Neki tvrde da ga je upotrijebio za definiranje svih proporcija na slici Posljednja večera, uključujući dimenzije stola i proporcije zidova i pozadine. Zlatni rez također se pojavljuje u njegovom bezvremenskom portretu, Mona Lisa. Vjeruje se da su i mnogi drugi poznati umjetnici koristili zlatni rez u svojim djelima kao što je npr. Michelangelo (Doni Tondo ili Donijeva Gospa), Raphael (Sikstinska Madona), Rembrandt (autoportret), Seurat (Cirkuska parada) i Salvador Dali (Leteća šoljica s neobjašnjivim dodatkom od pet metara).

 

 

Neuobičajeno je da umjetnik eksplicitno govori o svjesnom korištenju Fibonaccijevih brojeva kao osnovnoj strukturi njegovog djela. Međutim, jedan takav primjer je Njemica Rune Mields koja je objasnila da je njeno djelo pod naslovom Evolucija: Progresija i simetrija III i IV “podložno zakonima simetrije” i da se u “uzlaznoj liniji generira progresija trokuta, uz pomoć poznate matematičke serije Leonarda Pisana, nazvana Fibonacci'”.

 

Zlatni rez u arhitekturi

Korištenje zlatnog reza u arhitekturi potencijalno datira od starih Egipćana i Grka. Čini se da su Egipćani možda koristili brojeve Pi (π) i Phi u dizajnu Velikih piramida. Neki smatraju da je dizajn Parthenona temeljen na ovom omjeru. Naime, Fidija (grč. Pheidias) (500. pne. – 432. pne.), grčki kipar i matematičar, proučavao je Phi i umjetnik je koji je dizajnirao skulpture za Parthenon. Međutim, o ovome u grčkoj nauci nema pisanih dokaza, a ideja da Parthenon ima proporcije dane zlatnim rezom datira tek iz 1850-ih.

Partenon

Još neka od arhitektonskih čuda za koja se smatra da su građena po principu Zlatnog reza uključuju: Veliku džamiju u Kairouanu i Stupu u Borobuduru na Javi (Indonezija).

Phi je također pomno praćen u definiranju geometrije struktura izgrađenih u gotičkom stilu arhitekture. Neke od najpoznatijih građevina uključuju Notre Dame, Pasir i katedralu u Chartresu. Neki teoretičari čak i dizajn Taj Mahala povezuju sa zlatnim presjekom.

U svakom slučaju Fibonaccijev utjecaj ostaje prisutan i u modernoj arhitekturi, gdje je sam niz postao obilježje dizajna nekih građevina. Takav je i dimnjak elektrane u Turkuu, Finska, koji prikazuje prvih deset brojeva Fibonaccijevog niza. “Fibonaccijev dimnjak” stvorio je 1994. talijanski umjetnik Mario Merz i to je samo jedan od njegovih mnogih “konceptualnih” radova koji uključuju Fibonaccijev niz.

 

A šta je s muzikom?

Kako bi muziku bilo lakše zapisati, definisati i na neki način materijalizirati, ljudi su izmislili notni sistem, definisali note, akorde, muzičku ljestvicu (oktava). Da, muzika se izražava svojevrsnim numeričkim vrijednostima i da, često su ove numeričke vrijednosti Fibonaccijevi brojevi:

  • muzička ljestvica ima 8 nota
  • oktava je muzički interval (razmak između dva tona) od osam tonova, od kojih ona viša ima dvostruko veću frekvenciju od niže (pravilo Fibonaccijevog niza).
  • i 5. nota čine osnovni akord
  • oktava na klaviru sastoji se od 13 nota: 8 bijelih tipki i 5 crnih tipki

Svi pomenuti brojevi su dio Fibonaccijevog niza i kao takvi stvaraju određenu harmoničnu kompoziciju.

Kada govorimo o velikim kompozitorima klasične muzike kao što su Bach, Beethoven, Chopin i Mozart, postoje indicije da se kroz neka njihova velika djela “provlači” Fibonaccijev niz i zlatni presjek.

Na primjer, mnoge Mozartove klavirske sonate temelje se na zlatnom rezu.

Sonata se tradicionalno sastoji od 3 dijela: ekspozicije, razvoja i rekapitulacije, u kojima se muzička tema iznosi, istražuje ili proširuje i ponavlja.

Očito i mjerljivo je da je Mozart svoje klavirske sonate aranžirao tako da broj taktova u razvoju i rekapitulaciji podijeljen s brojem taktova u ekspoziciji iznosi približno 1.618. na slici ispod je primjer prvog stava njegove Klavirske sonate br. 1 u C-duru.

Međutim, nigdje nisam uspjela naći podatak da je to bilo svjesno korištenje zlatnog reza u stvaranju muzike, niti u kolikoj mjeri je isti zastupljen u djelima velikih kompozitora. Isto važi i za djela velikih slikara i njihovih djela za koja se tvrdi da su rezultat primjene zlatnog omjera.

Bilo kako bilo, neki moderni kompozitori poput Caseyja Mongovena istraživali su zlatni rez u muzici, a u ovom njegovom videu možete poslušati i kako zvuči kompozicija koja prati Fibonaccijev niz:

https://youtu.be/IGJeGOw8TzQ?si=H9zkP0d73wu1Fx22

 

Zlatni rez ljudskog tijela

Pretpostavlja se da je zlatni rez u srcu mnogih proporcija u ljudskom tijelu. To uključuje oblik savršenog lica i također omjer visine pupka i visine tijela. Tvrdi se da gotovo svaki dio savršenog ljudskog lica ima poveznicu sa zlatnim rezom.

Međutim, tijelo ima mnogo mogućih omjera, od kojih mnogi leže negdje između 1 i 2. Ako uzmete u obzir dovoljno njih tada ćete sigurno dobiti brojeve blizu vrijednosti zlatnog reza (oko 1,618). Ovo je posebno istinito ako stvari koje mjerite nisu posebno dobro definisane i moguće je mijenjati definiciju na takav način da dobijete proporcije koje želite pronaći.

Ako dovoljno dobro pogledate, također ćete pronaći proporcije u ljudskom tijelu bliske 1.6, 5/3, 3/2, kvadratnom korijenu iz 2, 42/26… Zapravo, ako probate izmjeriti, većina omjera dva dijela tijela imat će vrijednosti između 1 i 2, ali to nije zlatni presjek. Da li je to dovoljno blizu da bi mogli reći da teži zlatnom presjeku? Koliko odstupanja od zlatnog presjeka je prihvatljivo da bismo i dalje zadržali uvjerenje kako je priroda utkala zlatni rez i u nas, ljude? Ne znam, ali činjenica je da su istraživanja pokazala da ljudi općenito smatraju ljepšim i privlačnijim ona lica i tijela koja su svojim proporcijama bliža zlatnom rezu.

Bez obzira na zlatnu ili neku sasvim drugu proporciju i dalje ostaje da je “ljepota u oku posmatrača”, bar kada govorimo o estetici. A što se tiče matematičke ljepote Fibonaccijevog niza – tu jednostavno nema prostora za diskusiju.